量子 bit (qubit) 2 つの状態 ( | 0 i , | 1 i ) しか持たない系

(1)

卒業論文発表会

1

月

28

日, 2009, 福井大学工学部物理工学科

量子エンタングルメントの指標とその突然の消滅

物理工学科５７山下悟士４４丹尾大輔

(2)

量子エンタングルメント

古典 bit (0 , 1)

例コインの裏と表

量子 bit (qubit) 2 つの状態 ( | 0 i ^, | 1 i ⁾ ^{しか持たない系}

例電子のスピン

(

右回り

| 0 i

^{、左回り}

| 1 i ⁾

２準位原子

(

基底状態

| 0 i

^{、励起状態}

| 1 i ⁾

重ね合わせの原理

→ | φ i = α| 0 i + β| 1 i

• qubitが２つの場合での量子系

| 00 i , | 01 i , | 10 i , | 11 i

重ね合わせの原理

| φ i = α 00 ( | 00 i + α 01 | 01 i + α 10 | 10 i + α 11 | 11 i

|α 00 | ² + |α 01 | ² + |α 10 | ² + |α 11 | ² = 1 )

(3)

ある

2qubit

の状態

| Φ i = √ ¹

2 | 0 i ^a | 1 i b + √ ¹

2  | 1 i ^a | 0 i b





^確率:

1 2 · · · | 0 i ^a → | 1 i b

確率:

¹ ₂ · · · | 1 i a → | 0 i b

 



⇓

測定結果が絡み合っている

(エンタングルメント )

このようにエンタングルした状態を、最大エンタングルメント状態又は

EPR pair( Einstein・Podolsky・Rosen

対

)

という。

研究の目的

•

エンタングルメントの有用性の例量子テレポーテーション

•

量子テレポーテーションの忠実度とエンタングルメントの指標

(Concurrence)

量子テレポーテーションの忠実度

F (Fidelity)

Concurrence

の導入

• ²

^{準位原子系における}

Concurrence

の時間変化

エンタングルメントの突然死

(Entanglement Sudden Death)

• ²

準位原子系における有限温度での

Concurrence

の時間変化有限温度でのエンタングルメントの突然死

(4)

量子テレポーテーション

目的：

Alice

に与えられた任意の状態の

qubit

を、遠く離れた位置にいる

Bob

にテレポー

トしたい。

1.

最大エンタングルメント状態

|Φi

^ab^の

2qubit (qubit a , qubit b)

を作り、Aliceが

qubit a、Bob

が

qubit b

を持ち遠く離れる。

2. Alice

に、

Bob

へ送りたい状態

| φ i

cの

qubit c

を与える。

3. Alice

は

qubit a

と

qubit c

に対して、ある測定を行い測定結果

(2bit)

を

Bob

に伝える。

4. Bob

は

Alice

からの情報に応じて、qubit

b

に対して特定の変換を行い

|φi

cを得る.

qubit A qubit B

Alice Bob

エンタングルメント

qubit C

古典的情報 (2bit)

qubit C

EPR source

(5)

最大エンタングルメントでないとき忠実度の期待値

F (Fidelity)

• ^Alice ^, Bobが準備したエンタングルメント状態の 2qubit

| Φ i ab = √

α| 0 i ^a | 1 i b + √

β| 1 i ^a | 0 i b ( α + β = 1 )

• ^Aliceが ^Bob

^{に送りたい状態}

| φ i ^c = c ₀ | 0 i ^c + c ₁ | 1 i ^c

• ^Alice

からの古典情報によって

Bob

が作り出した状態

| φ

⁰

_i i

忠実度の期待値は

F =

∑ 4 i = 1

P _i |h φ

⁰

_i | φ i ^c | ² ⁽ P _i

：状態

| φ

⁰

_i i

^{を得る確率)}

= | c ₀ | ⁴ + | c ₁ | ⁴ + 4 | c ₀ | ² | c ₁ | ² √ αβ

= 1 − 2 | c ₀ | ² | c ₁ | ² (1 − C) (

C = 2 √ αβ )

α ⁼ β ⁼ ¹ ₂

^のとき

^{(EPR pair)} C = 1 = ⇒ F = 1

α , β

^のとき

C < 1 = ⇒ F < 1

(6)

Concurrence

の導入

Concurrence

とは・・・

エンタングルメントの指標を表す。

Concurrence

の定義

2qubit

の一般の状態

|Φi

^の

Concurrence C( Φ ⁾

は次の表し方がある。

•

^任意の

|Φi

^{に対して、}

^Schmidt

^{の分解を行う。}

|Φi = √

α| 0

⁰

i a | 0

⁰

i b + √

β| 1

⁰

i a | 1

⁰

i b

( { | 0

⁰

i a , | 1

⁰

i a } , {| 0

⁰

i b , | 1

⁰

i b }

^{は正規直交基底}

)

→ C( Φ ) = 2 √ αβ

• θ = σ ^y ⊗ σ ^y K

とすると、

( σ ^y

^：

y

_{方向のパウリ行列}

K

：複素共役をとる演算子

)

→ C( Φ ) = |h Φ |θ| Φ i|

(7)

純粋状態と混合状態、密度演算子の導入

今までのように状態

| Φ i

にあるとき、量子系は純粋状態という。

| Φ i = √

α| 00 i + √

β| 11 i

^{：純粋状態}

確率

q ₁

で純粋状態

| φ 1 i

^に、確率

q ₂

で純粋状態

| φ 2 i

^{にあるとき、量子系は}^{混合状態と} いう。

ある

2qubit

で上記の混合状態での量子系における密度演算子

ρ

^は、

ρ = q ₁ | φ 1 ih φ 1 | + q ₂ | φ 2 ih φ 2 |

一般に、確率

q _i

で状態

| φ i i

にあるような混合状態の密度演算子は

ρ = ∑

i

q _i | φ i ih φ i |

純粋状態

( q _i = 1

_、状態は

| φ i ⁾

^のとき

ρ = | φ ih φ |

(8)

混合状態の

Concurrence

それぞれの状態の

Concurrence

の平均を混合状態の

Concurrence

と仮定する。

確率

q ₁ = ¹ ₂

^で

| Φ 1 i = √ ¹

2 ( | 00 i + | 11 i )

確率

q ₂ = ¹ ₂

^で

| Φ 2 i = √ ¹

2 ( | 00 i − | 11 i ) ρ = 1

2 | Φ 1 ih Φ 1 | + 1

2 | Φ 2 ih Φ 2 | ⁽¹⁾

= 1

2 | 00 ih 00 | + 1

2 | 11 ih 11 | ⁽²⁾ (1)

の密度演算子のとき

C ( Φ 1 ) = 1

_、

C ( Φ 2 ) = 1

C ( ρ ) = q ₁ C ( Φ 1 ) + q ₂ C ( Φ 2 )

= 1

(2)

の密度演算子のとき

C (00) = 0

_、

C (11) = 0

C ( ρ ) = q ₁ C (00) + q ₂ C (11)

= 0

それぞれの結果から

Concurrence

の値に矛盾が生じる。

2

個の

qubitがある混合状態にあるとき、エンタングルメントの指標である Concurrence

はどう定義するべきか？

(9)

密度演算子

ρ

で記述される混合状態の

Concurrence

を次のように定義する。

C ( ρ ) = min ∑

i

q _i C ( φ i )

 

 ρ = ∑

i

q _i | φ i ih φ i |

 



( min

は

ρ = ∑

q _i | φ i ih φ i |

^{となるすべての}

q _i

_と

| φ i i

に関するものである

)

この

min

を計算するのは容易ではないが、次の公式が成立することが分かっている。

以降、次の公式を混合状態の

Concurrence

の定義として用いる。

C ( ρ ) = max (

0 , √

λ 1 − √

λ 2 − √

λ 3 − √ λ 4

) ζ = ρθρθ = ρ (

σ ^y ⊗ σ ^y )

ρ ^∗ (

σ ^y ⊗ σ ^y )

ただし、

λ i

は演算子

ζ

の固有値を大きい方から並べたものである。(

λ 1 ≥ λ 2 ≥ λ 3 ≥ λ 4 )

(10)

2

準位原子の自然放射

(温度 T = 0)

一つの

2

準位原子を考える。

時刻

t = 0

で励起状態にある原子は時刻

t

にはある確率で自然放射し、基底状態になる。

他方、基底状態にある原子はそのまま基底状態に留まるとする。

密度演算子で書けば、

ρ (0) = | 1 ih 1 |

↓

ρ ( t ) = (1 − e ^−Γ ^t ) | 0 ih 0 | + e ^−Γ ^t | 1 ih 1 | ρ (0) = | 0 ih 0 |

↓

ρ ( t ) = | 0 ih 0 |

ここで、

_Γ ¹

は励起状態の寿命である。

(11)

一般に

2

準位原子の自然放射は次式で表される。

ρ ( t ) = K ₁ ( t ) ρ (0) K ^†

1 ( t ) + K ₂ ( t ) ρ (0)K ^†

2 ( t ) = ∑

a = 1 , 2

K _a ( t) ρ (0)K ^† _a ( t )

K ₁ ( t ) = | 0 ih 0 | + e

^−Γ² ^t

| 1 ih 1 | K ₂ ( t ) = √

1 − e ^−Γ ^t | 0 ih 1 |

K ^†

1 ( t ) = | 0 ih 0 | + e

^−Γ² ^t

| 1 ih 1 | K ^†

2 ( t ) = √

1 − e ^−Γ ^t | 1 ih 0 |

K ₁ ( t ) , K ₂ ( t )

はクラウス演算子と呼ばれる。

(12)

エンタングルメントの時間的変化

二つの

2

準位原子を考える。これらの間には相互作用はなく、独立に自然放射を行うとする。この時

ρ ( t)

は次式で表される。

ρ ( t) =

∑ 2 a , b = 1

K _a ( t) ⊗ K _b ( t ) ρ (0) K ^† _a ( t ) ⊗ K ^†

b ( t )

相互作用なし遠く離れている

⇐⇒

(13)

エンタングルメントの消滅および突然死

時刻

t = 0

で純粋状態、あるいは混合状態おける

2

つの

qubit

の時刻

t

での

concurrence

を調べる。

純粋状態

ρ (0) = | 00 ih 00 | = ⇒ C( ρ ) = 0 ρ (0) = | 11 ih 11 | = ⇒ C( ρ ) = 0 ρ (0) = | ψ ih ψ | = ⇒ C( ρ ) = e ^−Γ ^t

(

| ψ i = √ ¹

2 ( | 01 i + | 10 i ) )

ρ (0) = | ψ ⁰ ih ψ ⁰ | = ⇒ C( ρ ) = e ⁻ ² ^Γ ^t

(

| ψ ⁰ i = √ ¹

2 ( | 00 i + | 11 i )

)

(14)

混合状態

ρ (0) = (1 − a) | 00 ih 00 | + a | ψ ih ψ |

(

| ψ i = √ ¹

2 ( | 01 i + | 10 i ) )

= ⇒ C( ρ ) = max {

ae ^−Γ ^t , 0 }

(0 ≤ a ≤ 1)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Concurrence

time

a=1 a=0

(15)

ρ (0) = (1 − a) | 11 ih 11 | + a | ψ ih ψ |

(

| ψ i = √ ¹

2 ( | 01 i + | 10 i ) )

= ⇒ C( ρ ) = max {

ae ^−Γ ^t − 2e ^−Γ ^t √

(1 − a)(1 − e ^−Γ ^t )(ae ^−Γ ^t − e ^−Γ ^t + 1) , 0 }

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Concurrence

time

a=1 a=0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5 0 1.5 1

2.5 2 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

a time

C

(16)

上記の混合状態の結果から、

2

原子が励起した状態

| 11 i

と、エンタングルした状態

| ψ i

^{との混合状態で} は

Concurrence

の値は有限の

t

で

0

になることがある。

= ⇒

^突然死！

2

原子が基底状態にある状態

| 00 i

と、エンタングルした状態

| ψ i

^との混合状態では

Concurrence

の値は指数関数的に

0

に収束する。

(

| ψ i = √ ¹

2 ( | 01 i + | 10 i ) )

「エンタングルメントの突然死」は

J.H.Eberly

と

Ting Yu

によって発見された。

(2006

年)

(次ページ参照)

•

上記の混合状態の組み合わせは私達が考えたものだが、同様に突然死が起きる場合も確認できた。

(17)

J.H.Eberly

と

Ting Yu

の計算

ρ (0) = ¹ ₃ (a | 00 ih 00 |

+ | 01 ih 01 | + | 01 ih 10 | + | 10 ih 01 | + | 10 ih 10 | + (1 − a) | 11 ih 11 | )

C( ρ ) = max { 2

3 e ^−Γ ^t { 1 − √

(1 − a) { (1 − a)(1 − e ^−Γ ^t ) ² + 2(1 − e ^−Γ ^t ) + a }} , 0

}

(18)

a =1

C( ρ ) = max { ₂

3 e ^−Γ ^t , 0 }

a =0

C( ρ ) = max { 2

3 e ^−Γ ^t { 1 − √

(1 − e ^−Γ ^t ) ² + 2(1 − e ^−Γ ^t ) } , 0 }

Γ t = log (

1 + √ ¹

2 )

で突然死する。

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5 0 1.5 1

2.5 2 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

a

_time

C

a=1 a=0

(19)

有限温度でのエンタングルメント

有限温度では一般に

2

準位原子の光の放射と吸収は次式で表される。

ρ ( t ) = ∑

a = 1 , 2 , 3 , 4

K _a ( t ) ρ (0)K ^† _a ( t )

K ₁ ( t ) = √

1 − P( | 0 ih 0 | + e

^−Γ² ^t

| 1 ih 1 | ) K ₃ ( t ) = √

P(e

^−Γ²^t

| 0 ih 0 | + | 1 ih 1 | ) K ₂ ( t ) = √

1 − P( √

1 − e ^−Γ ^t | 0 ih 1 | ) K ₄ ( t ) = √

P( √

1 − e ^−Γ ^t | 1 ih 0 | )

(20)

上式を用いて

ρ (0) = | 0 ih 0 |, ρ (0) = | 1 ih 1 |

^の時刻

t → ∞

での密度演算子を求めると、

ρ ( ∞ ) = (1 − P) | 0 ih 0 | + P | 1 ih 1 |

となる。ここで

P

は、

P = P ₁ = ^e

⁻

1 kT

e

⁻

0 kT

+ e

⁻

1 kT

= ^e

⁻

(1−0) kT

1 + e

⁻

(1−0) kT

( P ₁ : t → ∞

で励起状態に留まる確率。)

 



T = 0 → ρ ( ∞ ) = | 0 ih 0 |

T = ∞ → ρ ( ∞ ) = ¹ ₂ ( | 0 ih 0 | + | 1 ih 1 | )

(21)

エンタングルメントの

Concurrence (有限温度)

有限温度では一般に二つの

2

準位原子の光の放射と吸収は次式で表される。

ρ ( t ) =

∑ 4 a , b = 1

K _a ( t ) ⊗ K _b ( t ) ρ (0)K ^† _a ( t ) ⊗ K ^†

b ( t)

K ₁ ( t ) = √

1 − P( | 0 ih 0 | + e

^−Γ² ^t

| 1 ih 1 | ) K ₃ ( t ) = √

P(e

^−Γ²^t

| 0 ih 0 | + | 1 ih 1 | ) K ₂ ( t ) = √

1 − P( √

1 − e ^−Γ ^t | 0 ih 1 | ) K ₄ ( t ) = √

P( √

1 − e ^−Γ ^t | 1 ih 0 | )

(22)

時刻

t = 0

で純粋状態

ρ (0) = | ψ ih ψ |

(

| ψ i = √ ¹

2 ( | 01 i + | 10 i ) )

= ⇒ C( ρ ) = max {

e ^−Γ ^t − 2 P(1 − P)(1 − e ^−Γ ^t )

√

1 + e ⁻ ² ^Γ ^t + e ^−Γ ^t ( ¹

P(1 − P) − 2) , 0 }

T = 0

C( ρ ) = e ^−Γ ^t T = ∞

C( ρ ) = ¹ ₂ (e ^−Γ ^t + 1) ² − 1 Γ t = log

(

√ 1 2 − 1

)

で突然死する。 ⁰

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Concurrence

time

P=1/2 P=1/3 P=1/6 P=0

(23)

結論

•

量子エンタングルメントを利用することで、様々な量子情報的な作業を行うことが出来る。

(量子テレポーテーションや Super dense coding

など

)

•

量子テレポーテーションの忠実度

F

はエンタングルメントの指標である

Concur- rence

と同じになる。

•

^温度

T = 0

で独立に自然放射を行う

2

準位原子を考えたとき、

励起した状態

| 11 i

とエンタングルした状態

| ψ i

^{との混合状態では}

Concurrence

の値は有限の

t

_で

0

になることがあり、突然死する。

(

| ψ i = √ ¹

2 ( | 01 i + | 10 i ) )

•

^{有限温度では時刻}

t = 0

_{で純粋状態でも}

Concurrence

の値は有限の

t

_で

0

になり、

突然死する。

(24)

(25)

補足１

(量子テレポーテーション )

•

^ベル基底

 







| Φ 1 i = √ ¹ 2

( | 00 i + | 11 i )

| Φ 2 i = √ ¹

2 ( | 00 i − | 11 i )

| Φ 3 i = √ ¹

2 ( | 01 i + | 10 i )

| Φ 4 i = √ ¹

2 ( | 10 i − | 10 i )

•

^{ユニタリー変換}

 





U ₁ = 1

U ₂ = | 0 ih 0 | − | 1 ih 1 | U ₃ = | 1 ih 0 | + | 0 ih 1 | U ₄ = U ₂ U ₃

•

量子テレポーテーション

| Φ i abc = | Φ 1 i ^ac

( C

₀

√

√ α

2 | 0 i b + ^C

¹

√ β

√ 2 | 1 i b

)

+ | Φ 2 i ^ac

( C

₀

√

√ α

2 | 0 i b − ^C

¹

√ β

√ 2 | 1 i b

) + | Φ 3 i ^ac

( C

₀

√

√ β

2 | 1 i b + ^C

¹

√ ^√ ^α

2 | 0 i b

)

+ | Φ 4 i ^ac

( C

₀

√

√ β

2 | 1 i b − ^C

¹

√ ^√ ^α

2 | 0 i b

)

Aliceが Bell

測定を行う

2bit(4

通り)のいづれかの測定結果を得る

→その結果に応じて

Bob

はユニタリー変換を行う。

(26)

補足２

(Concurrence)

• ^Schmidt

^{の標準形を用いる場合}

| Φ i = α 00 | 00 i + α 01 | 01 i + α 10 | 10 i + α 11 | 11 i

= ( α 00 | 0 i a + α 10 | 1 i a ) | 0 i b + ( α 01 | 0 i a + α 11 | 1 i a ) | 1 i b

= √

|α 00 | ² + |α 10 | ²

 

 ^α

⁰⁰

^√ ^| _|α ⁰ ⁱ

^a

^+α

¹⁰

^| ¹ ⁱ

^a

00

|

²

+|α

10

|

²

 

 | 0 i b + √

|α 01 | ² + |α 11 | ²

 

 ^α

⁰¹

^√ ^| _|α ⁰ ⁱ

^a

^+α

¹¹

^| ¹ ⁱ

^a

01

|

²

+|α

11

|

²

 

 | 1 i b

= √

|α 00 | ² + |α 10 | ² | 0

⁰

i a | 0

⁰

i b + √

|α 01 | ² + |α 11 | ² | 1

⁰

i a | 1

⁰

i b

= √

α| 0

⁰

i ^a | 0

⁰

i b + √

β| 1

⁰

i ^a | 1

⁰

i b

C( Φ ) = 2 √ αβ

• y

方向のパウリ行列を用いる場合

θ = σ ^y ⊗ σ ^y K

= ( −| 00 ih 11 | + | 01 ih 10 | + | 10 ih 01 | − | 11 ih 00 | ) K

| Φ i = α 00 | 00 i + α 01 | 01 i + α 10 | 10 i + α 11 | 11 i

= √

α| 0

⁰

i ^a | 0

⁰

i b + √

β| 1

⁰

i ^a | 1

⁰

i b

C( Φ ) = |h Φ |θ| Φ i| = − 2 √

αβ = 2 √

αβ

(27)

補足

3(密度演算子)

ある状態

| Φ i

が次のように表されている.

| Φ i = c ₁ | 1 i + c ₂ | 2 i + · · · + c _a | a i + · · · =

∑ n a = 1

c _a | a i

正規直交基底で測定をすると、結果

a

を得る確率は

P _a = | c _a | ² = |h a | Φ i| ²

確率

q ₁

で純粋状態

| φ i 1

、確率

q ₂

で純粋状態

| φ i 2

のような混合状態にある量子系を正規直交基底で測定を行い、結果

量子 bit (qubit) 2 つの状態 ( | 0 i , | 1 i ) しか持たない系

1

28

量子エンタングルメント の指標とその突然の消滅

古典 bit (0 , 1)